Треугольник Паскаля: Раскрытая тайна

автор Элеонора Ример 17.07.23 14:54

Автор Элеонора Ример

«Все проблемы человечества проистекают из неспособности человека спокойно посидеть в комнате в одиночестве.»

― Блез Паскаль

Том «Traité du triangle arithmetique» состоит из совокупности одиннадцати различных трактатов, первые пять из которых написаны на французском языке, а последующие шесть - на латыни. В нем Паскаль дал общее и систематическое изложение своих открытий в области исчисления случайностей. В основе его работы лежит «арифметический треугольник» - табличное представление, в котором числа располагаются в строках и столбцах по заданным правилам прогрессии, составляя то, что Паскаль называет «числовыми порядками» и что соответствует старым «фигурным числам». Сама по себе эта схема не представляет ничего революционного, с ней были знакомы многие математики XVI века, но новизна Паскаля заключалась в создании ее теории, в которой он изложил принципы рассуждений с помощью рекурсии.

В оговорке, помещенной в начале тома, изданного через три года после смерти Паскаля, говорится, что трактаты, составляющие этот сборник, «были найдены напечатанными среди бумаг месье Паскаля, что свидетельствует о том, что он намеревался их опубликовать. Но вскоре после этого, полностью отказавшись от подобных исследований, он пренебрег публикацией этих работ». В 1665 г. были напечатаны только общий титульный лист, предупреждающий лист и табличка с фигурой арифметического треугольника: остальные работы представляют собой сборник оттисков, сделанных в 1654 г., но «второе обращение» Паскаля в ноябре того же года не позволило ему распространить их.

Поскольку французский математик, философ и богослов Блез Паскаль в XVII веке первым, кто провел всестороннее исследование треугольника, его часто называют его именем. В частности, Блез Паскаль использовал треугольник для изложения основ теории вероятностей в своей переписке с французским математиком Пьером де Ферма.

В Италии же треугольник назван в честь математика Никколо Тарталья и поэтому известен как треугольник Тарталья. Однако задолго до Паскаля и Тартальи треугольник был известен под разными именами. Поэтому его изобретение не может быть приписано одному человеку.

Известно, что ранние индийские и китайские математики использовали этот треугольник для суммирования математических рядов. Самые ранние упоминания о треугольнике Паскаля появились в Индии около 450 года до н.э. Поэтому индийские математики называли треугольник лестницей горы Меру. В Китае он также известен как треугольник Ян Хуэя.

Позднее, в исламском мире, персидский поэт, астроном и математик Омар Хайям (1048-1131) также исследовал различные свойства этого треугольника. По этой причине треугольник Паскаля известен в Иране как треугольник Хайяма.

Хотя Паскаля в первую очередь интересовали его связи с теорией вероятностей, треугольник также имеет много замечательных связей с комбинаторикой, евклидовой геометрией, фрактальной геометрией (в виде треугольника Серпинского) и многочисленными последовательностями чисел, включая ряд Фибоначчи. Помимо этих многочисленных интересных свойств, существует один замечательный аспект, который до недавнего времени оставался скрытым, - основание натурального логарифма, e.

Интересно отметить, что Леонард Эйлер в своей работе «Introductio in analysin infinitorum» 1748 г. использовал определение предела e вместе с биномиальным разложением (a + b)^n для получения классического приближенного ряда,

Этот ряд формирует основу для самых быстрых методов вычисления e. Таким образом, треугольник Паскаля не только дал Эйлеру средства для преобразования предела в ряд, но и, что удивительно, формула, с которой он начал, сама вплетена в богатый числовой гобелен этого треугольного массива.

И треугольник Паскаля, и e представляются универсальными сущностями в мире математики, играющими важную роль в различных дисциплинах. То, что они тесно связаны между собой, дает нам еще одно представление о бесконечной глубине и удивительности математического мира.

Треугольник Паскаля: Раскрытая тайна VGql23fFzdg